学霸必会的考点,也是高考热点,现在看还来得及

导数是研究函数性质的重要而有力的工具,特别是对于函数的单调性,以“导数”为工具,能对其进行全面的分析,为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法,进而与不等式的证明,讨论方程解的情况等问题结合起来,极大地丰富了中学数学思想方法.复习时,应高度重视以下问题:

1、求函数的解析式;

2、求函数的值域;

3、解决单调性问题;

4、求函数的极值(最值);

5、构造函数证明不等式(www.ppzq.net)。

导数考查范围:

1、了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念。

2、熟记基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则。了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数。

3、理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。

导数有关的高考试题分析,典型例题1:

已知函数f(x)=m/x+xlnx(m>0),g(x)=lnx﹣2.

(1)当m=1时,求函数f(x)的单调区间;

(2)设函数h(x)=f(x)﹣xg(x)﹣√2,x>0.若函数y=h(h(x))的最小值是3√2/2,求m的值;

(3)若函数f(x),g(x)的定义域都是[1,e],对于函数f(x)的图象上的任意一点A,在函数g(x)的图象上都存在一点B,使得OA⊥OB,其中e是自然对数的底数,O为坐标原点,求m的取值范围.

考点分析:

利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.

题干分析:

(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;

(2)求出h(x)的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,求出h(x)的最小值,从而求出m的值即可;

(3)根据OA和OB的关系,问题转化为x²/2﹣x²lnx≤m≤x²(e﹣lnx)在[1,e]上恒成立,设p(x)=x²/2﹣x²lnx,根据函数的单调性求出m≥p(1)=1/2,设q(x)=x²(e﹣lnx),根据函数的单调性求出m≤q(1),从而求出m的范围即可.

导数有关的高考试题分析,典型例题2:

已知函数f(x)=ax²+cosx(a∈R)记f(x)的导函数为g(x)

(1)证明:当a=1/2时,g(x)在R上的单调函数;

(2)若f(x)在x=0处取得极小值,求a的取值范围;

(3)设函数h(x)的定义域为D,区间(m,+∞)⊆D.若h(x)在(m,+∞)上是单调函数,则称h(x)在D上广义单调.试证明函数y=f(x)﹣xlnx在0,+∞)上广义单调.

考点分析:

利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.

题干分析:

(1)求出函数的导数,根据导函数的符号,求出函数的单调区间即可;

(2)求出函数的导数,通过讨论a的范围求出函数的单调区间,单调函数的极小值,从而确定a的具体范围即可;

(3)记h(x)=ax²+cosx﹣xlnx(x>0),求出函数的导数,通过讨论a的范围结合函数的单调性证明即可.

导数有关的高考试题分析,典型例题3:

已知函数f(x)=xex﹣a(lnx+x).

(1)若函数f(x)恒有两个零点,求a的取值范围;

(2)若对任意x>0,恒有不等式f(x)≥1成立.

①求实数a的值;

②证明:x²ex>(x+2)lnx+2sinx.

考点分析:

导数在最大值、最小值问题中的应用;函数恒成立问题;不等式的证明.

题干分析:

(1)利用导数的运算法则可得f′(x),对a分类讨论,当a≤0时,f'(x)>0,故f(x)单调递增,舍去.当a>0时,f'(x)=0有唯一解x=x0,此时求出极值,进而得出答案.

(2)①当a≤0时,不符合题意.当a>0时,由(1)可知,f(x)min=a﹣alna,故只需a﹣alna≥1.令t=1/a,上式即转化为lnt≥t﹣1,利用导数研究其单调性极值即可得出.

②由①可知x²ex﹣xlnx≥x²+x,因而只需证明:∀x>0,恒有x²+x>2lnx+2sinx.注意到前面已经证明:x﹣1≥lnx,因此只需证明:x²﹣x+2>2sinx.对x分类讨论,利用导数研究函数的单调性极值即可得出。

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